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Hajo Seng: Struktur

Fraktale Einstieg polynomiale Fraktale exponentielle Fraktale


Fraktale

Fraktale Strukturen - in einem weiteren Sinne - kamen zum Ende des 19. und zu Beginn des 20. Jahrhunderts ins Blickfeld mathematischer Untersuchungen. Berühmt ist dabei die wohl erste derartige Menge, die in der Mathematik auftauchte, die von Georg Cantor 1883 als kompakte aber vollkommen unzusammenhängende Teilmenge der reellen Zahlen veröffentlichte Cantor-Menge. 1890 veröffentlichte Guiseppe Peano die nach ihm benannte raumfüllende Peano-Kurve und 1904 hatte Helge von Koch die nach ihm benannte Koch-Kurve als stetige aber nirgends differenzierbare (also vollkommen "unglatte") Kurve dargestellt. Schließlich wäre hier noch das von Waclav Sierpinski 1915 das Sierpinski-Dreieck als selbstähnliche zweidimensionale Struktur veröffentlicht. Bis auf die Peano-Kurve entsprechen diese Strukturen der nachfolgenden Definition eines Fraktals und haben insbesondere nicht-ganzzahlige Hausdorff-Dimensionen.


Cantor-Menge (Iterationen), Koch-Kurve (ausgefüllt), Sierpinski-Dreieck und Peano-Kurve

Skaleninvarianz und Selbstähnlichkeit sind als Eigenschaften zu eng gefasst, um Fraktale adäquat zu definieren. Nicht alle Fraktale sind dem strengen Sinn selbstähnlich, dass sie enthaltenen Strukturen exakt verkleinerte Kopien des gesamten Fraktals darstellen, und nicht exakt selbstähnliche Strukturen sind auch nicht skaleninvariant. Es haben noch nicht einmal alle Fraktale eine nicht-ganzzahlige Dimension. Aber dennoch finden sich bei solchen Fraktalen immer sehr ähnliche Strukturen in den Verkleinerungen wieder. Fraktale werden daher besser wie folgt definiert:

Ein Fraktal ist eine Menge, deren Hausdorff-Dimension größer ist als ihre Lebesgue'sche Überdeckungsdimension.

Die Lebesgue'sche Überdeckungsdimension entspricht dem gängigen topologischen Dimensionsbegriff. Dabei hat ein topologischer Raum die Dimension d wenn sie sich so mit offenen Teilmengen überdecken lässt, dass jeder Punkt in höchstens d dieser Teilmengen liegt und d die kleinste natürliche Zahl ist, für die das gilt. Für Fraktale kommt dagegen die Hausdorff-Dimension zur Anwendung. Vereinfacht dargestellt hat eine Punktmenge die Hausdorff-Dimension s, wenn es eine Überdeckung mit n offenen Teilmengen gibt, die jeweils einen Durchmesser r haben mit n ~ rs. Die Hausdorff-Dimension ist stets größer als die Überdeckungsdimension. So hat die Cantor-Menge die Hausdorff-Dimension log2/log3 und die Überdeckungsdimension 0, die Kochkurve log4/log3 und das Sierpinski-Dreieck log3/log2 (beide Dimension 1). Für die Peano-Kurve stimmen beide Dimensionen überein (Dimension 2); die Peano-Kurve stellt nach dieser Definition kein Fraktal dar.