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Hajo Seng: Struktur

Primzahlen Einführung Primzahlpaare (1) Primzahlpaare (2) Lücken und Paare Primzahlfolgen Beispiele (Folgen)


Der Primzahlsatz sagt aus, dass die Häufigkeit der Primzahlen kleiner als n sich proportional zu 1/logn verhält. Da es natürlich mit steigendem n immer mehr Zahlen gibt, durch die n möglicherweise teilbar sein könnte, ist die Abnahme der Häufigkeit von Primzahlen bei steigendem n naheliegend. Es ist auch die Proportionalität zu 1/logn nachvollziehbar, wenn man bedenkt, dass Primzahlen quasi die Grundbausteine der Zahlen bezüglich der Multiplikation darstellen; d.h. dass jede natürliche Zahl größer als 1 sich als Produkt von Primzahlen darstellen lässt. Unter der Annahme der statistischen Verteilung der Primzahlen ist auch die Vermutung gerechtfertigt, dass sich die Häufigkeit von Primzahlzwillingen relativ zu der der Primzahlen, z/p, wie 1/logp verhält. Damit verhält sich die Häufigkeit der Primzahlzwillinge erwartungsgemäß wie 1/(logn)2. Elementare Teilbarkeitsüberlegungen führen zur Zwillingskonstanten als Proportionalitätskonstante.

Die Frage nach Primzahlen mit einer vorgegebenen Distanz ist eng mit der Frage nach Lücken zwischen zwei benachbarten Primzahlen verbunden. Eine von Hardy und Littlewoods Vermutungen (1923) besagt, dass π(x+y) ≤ π(x) + π(y). Diese Vermutung ist nach dem Primzahlensatz naheligend. 1934 zeigte Heihachiro Ishikawa, dass pn + pn+1 > pn+2, wobei pn die n-te Primzahl ist. Das sind zwei gute Abschätzungen für die Verteilung der Primzahlen im Großen. Der Abstand dn zwischen zwei aufeinander folgenen Primzahlen kann beliebig groß werden, was durch elementare Überlegungen eingesehen werden kann. Aber wieviele aufeinander folgende Primzahlen gibt es für einen gegebenen Abstand, die genau diesen Abstand haben? Gibt es überhaupt welche? Aus dem Jahr 1849 stammt die Vermutung von Alphonse de Polignac:

Für jede gerade Zahl d gibt es unendlich viele aufeinanderfolgende Primzahlen mit d = pn+1 - pn.

Diese Vermutung ist nicht bewiesen. Es ist noch nicht einmal bewiesen, ob es für jede gerade Zahl überhaupt zwei Primzahlen gibt egal, ob sie aufeinander folgen oder nicht, die diesen Abstand voneinander haben. R.O. Davies bewies immerhin 1984, dass es für jede Zahl N eine gerade Zahl d gibt und mehr als N Primzahlpaare p, q mit Abstand d. Die Primzahlen sind vergleichsweise dicht verteilt; es gilt nämlich limd(n)/p(n) = 0. Hierbei ist p(n) die n-te Primzahl und d(n) der Abstand zur folgenden Primzahl.

Wie schon bei den Primzahlzwillingen sieht es so aus, dass die Primzahlenpaare mit einem gegebenen geraden Abstand sich wie zufallsverteilt verhalten. Vor diesem Hintergrund macht es Sinn, von Häufigkeiten zu sprechen und mit Hardy und Littlewood zu vermuten, dass πd ~ π2 * ∏[p>2|d](1 + 1/(p-2)). Für die (geraden) Zahlen d, in der jede Primzahl nur einmal als Teiler vorkommt, bedeutet dies eine eins-zu-eins Abbildung zwischen den Häufigkeiten von Primzahlen mit dem Abstand d und der Zahl selbst. Wie in den Eingangsbemerkungen erwähnt entstehen bei der Visualisierung dieser Häufigkeiten Spektren mit den Primfakultäten als Hauptbanden und den restlichen Zahlen als Nebenbanden, die zwischen der größten enthaltenen und der nächst größeren Primfakultät liegen. Ungerade Zahlen werden hierbei auf 0 der 1 abgebildet und können daher aus diesen Betrachtungen ausgenommen werden.