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Hajo Seng: Struktur

Primzahlen Einführung Primzahlpaare (1) Primzahlpaare (2) Lücken und Paare Primzahlfolgen Beispiele (Folgen)


Ein sehr schönes Thema aus der Primzahlforschung ist die Frage nach der Existenz von Folgen aus Primzahlen, die alle denselben Abstand voneinander haben. Ich hatte dieses Thema in "Jan-Jan oder anders anders" skizziert, wo die Folge 5, 11, 17, 23, 29 als Folge von besonderen Zahlen die beiden Romane "Jan-Jan oder anders anders" und "Beziehungsalgebra" durchziehen. Mit fünf Elementen ist diese Folge maximal, da in ihr jedes Element modulo 5 einen anderen Rest ergeben muss; die als nächstes folgende 35 ist daher durch 5 teilbar. Eine solche maximale Folge kann es auch nur geben, wenn der Abstand zwischen den Primzahlen dem Produkt aller kleineren Primzahlen entspricht wie in diesem Fall die 6, und die kleinste Primzahl kleiner als dieser Abstand ist. Ich werde das im Folgenden noch etwas formalisieren. Eine maximale Folge mit 7 Elementen würde daher mit 7 beginnen und die folgenden Zahlen mit dem Abstand 30 beinhalten: 7, 37, 67, 97, 127, 157 - die 187 ist aber durch 11 teilbar und nicht prim. Ist die 5 die größte Primzahl, die eine solche maximale Folge bildet - sowohl die 2 (2, 3), als auch die 3 (3, 5, 7) bilden ja solche maximalen Folgen? Dann wären die fünf Zahlen aus Jan-Jan tatsächlich besondere Zahlen.

Besondere Zahlen markieren in meinem Leben besondere Zeiten, beispielsweise besondere Geburtstage.Nach der 35, die die 5-er Folge unterbricht, ginge es dann mit 41, 47, 53, 59 weiter bis mit der 65 wieder eine Zahl auftaucht, dir durch 5 teilbar und nicht mehr prim ist. Besondere Zeiten können aber auch besondere Tage sein, wie etwa der 11.8.1999, an dem ich im Nordschwarzwald die erste und vermutlich auch einzige totale Sonnenfinsternis meines Lebens gesehen habe. Besondere Zahlen müssen nicht zwangsläufig prim sein, aber Primzahlen eignen sich sehr dafür, besondere Zahlen zu sein. So geben diese Zahlen meinem Leben eine Ordnung, eine Struktur, die mir immer klar vor Augen führt, wo ich mich auf meinem Lebensweg gerade aufhalte.

Mit Primzahlmehrlingen sind aufeinanderfolgende Primzahlen mit kleinstmöglichem Abstand gemeint: 3, 5, 7 oder 7, 11, 13 oder 11, 13, 17 oder 13, 17, 19. Kleinstmöglich sind die Abstände hier, weil außer 3, 5, 7 keine 3 Primzahlen den Abstand 2 voneinander haben können. Eine Folge von Abständen (b1, .., bk-1) heißt zulässig falls für jede Primzahl q < k {0, bi mod k} echt in der Menge der Restklassen mod q enthalten ist. Die bislang größte Menge zulässiger Abstände wurde 2010 mit 17 Elementen gefunden.
Die Primzahlmehrlingvermutung besagt, dass es für jede zulässige Folgen von Abständen (b1, .., bk-1) unendlich viele Primzahlen p gibt, deren sämtliche Zahlen p + bi prim sind. Die Primzahlmehrlingvermutung ist äquivalent zur Vermutung von Hardy und Littlewood, dass für x,y > 1 π(x+y) ≤ π(x) + π(y)gilt.

Zum Thema Primzahlen in arithmetischen Folgen hat J.P.G. Dirichlet 1837 gezeigt, dass die (unendliche) Folge a + id unendlich viele Primzahlen enthält, wenn d ≥ 2 und der d und a teilerfremd sind. 1939 konnte Johannes van der Corput zeigen, dass es unendlich viele arithmetische Folgen von drei Primzahlen gibt. Eine arithmetische Folgen von k Primzahlen ist dabei eine Folge von k Primzahlen p1, ..., pk, in der pi - pi-1 = d für jedes i > 1 gilt. Ben Green und Terence Tao zeigten 2004, dass es für jedes k ≥ 4 mindestens eine arithmetische Folge von Primzahlen gibt. Die längste arithmetische Folge, die bislang (2008) gefunden wurde, hat die Länge 23.