Mathematik & Psychologie / Matematik & psykologi

Sehen / Seende | Hören / Hörsel | Sprache / Språk

Denkstile / Tankestilar | Sprache & Neurodiversität / Språk & neurodiversitet
Teil 2 / Del 2 | Literatur / Litteratur

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Auf den ersten Blick scheinen Mathematik und Psychologie nicht so viel miteinander zu tun zu haben. Doch das täuscht: Beide haben gemeinsam, dass es ihnen um Sprache geht. Die Mathematik, weil sie nichts anderes ist als eine abstrahierte Sprache, die ungeachtet jeglicher Bedeutungen sprachliche Strukturen einer „exakten“ Analyse erschließt. Die Psychologie, weil die menschliche Psyche wie Sprache organisiert ist, insbesondere auch bei psychischen Erkrankungen. Beide Wege, sich der Sprache anzunähern, sind in sofern universell, dass sie von keiner konkreten Sprache ausgehen. Sie greifen vielmehr auf, was allen Sprachen und dem sprachlichen Denken gemeinsam ist. Die Mathematik ist demnach die Wissenschaft, die der Struktur der menschlichen Psyche erforscht.

Der kulturelle Gegenpart zur Mathematik stellt wohl der Zen-Buddhismus mit einen Koans dar. Die Koans führen an die Grenzen der Sprache und laden dazu ein, sie zu überschreiten; ein Unterfangen, das scheinbar vielen Menschen schwer fällt und ihnen teilweise jahrelange Meditationsübungen abverlangt. Für mich ist es schon immer leicht gewesen, mich gedanklich jenseits der Sprache zu begeben, es geschieht oft von selbst, denn dieses „jenseits der Sprache“ ist die Heimat meines Denkens.

Kaiser Wu von Liang forderte den Bodhisattva Fu auf, ihm das Diamantsutra vorzulesen.
Der Bodhisattva Fu nahm also auf seinem Sitze Platz. Dann tat er einen schwungvollen Hieb auf das Pult, vor dem er saß, und stieg von seinem Sitz wieder herab.
Der Kaiser Wu war vor Erstaunen sprachlos.
Der edle Dschi fragte den Kaiser: Majestät haben es doch verstanden?
Der Kaiser erwiderte: Ich verstehe es nicht.
Der edle Dschi sagte: Der Großmeister hat das Sutra ganz zu Ende gelesen.

67. Koan aus dem Bi-Yän-Lu

Vid första syn verkar matematik och psykologi inte ha så mycket gemensamt. Men det är ett misstag: båda har det gemensamt att de båda sysslar med språk. Matematiken, eftersom den inte är något annat än ett abstraherat språk som öppnar upp språkliga strukturer för ”exakt” analys oavsett innebörd. Psykologi, eftersom det mänskliga psyket är organiserat som ett språk, särskilt när det gäller psykisk sjukdom. Båda sätten att närma sig språket är universella i den meningen att de inte utgår från något specifikt språk. Snarare tar de upp det som är gemensamt för alla språk och språkligt tänkande. Matematiken är därför den vetenskap som undersöker det mänskliga psykets struktur.

Den kulturella motsvarigheten till matematik är förmodligen zenbuddismen med sina koaner. Koanerna tar oss till språkets gränser och uppmanar oss att överskrida dem; en strävan som många människor verkar tycka är svår och som ibland kräver åratal av meditation. Det har alltid varit lätt för mig att gå bortom språket i mina tankar, det händer ofta av sig självt, eftersom detta ”bortom språket” är hemvist för mitt tänkande.

Kejsar Wu av Liang bad Bodhisattva Fu att läsa Diamant Sutra för honom.
Bodhisattva Fu satte sig ner på sin plats. Han slog sedan med ett svängande slag i katedern framför vilken han satt och steg ner från sin plats.
Kejsar Wu var mållös av förvåning.
Den ädle Ji frågade kejsaren: Ers Majestät förstod, gjorde ni inte det?
Kejsaren svarade: Jag förstår inte.
Den ädle Ji sade: Stormästaren har läst sutran till slutet.

67:e koan från Bi-Yän-Lu

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Sehen / Seende

Die westliche Mathematik hat ihren Ursprung in der Geometrie der griechischen Antike. Ein herausragendes Dokument ist das Werk „Elemente“ von Euklid. Darin wird der Raum derartig abstrahiert und formalisiert, dass er rein formal, also mittels sprachlicher Strukturen gefasst werden kann, ohne dass dafür eine Anschauung nötig wäre. Es ist der „Euklidische Raum“. Dieser Raum ist ein von außen betrachteter Raum, was etwas widersinnig ist, denn was soll denn ein „Außerhalb des Raumes“ sein? Der Trick, der das in der Antike plausibel machte, war, die Perspektive der Götter einzunehmen, die sich ja jenseits dieser Welt befanden.

Diese „projektiven Räume“ stehen mit den „affinen“, der Verallgemeinerung des Euklidischen Raums, in einem komplementären Verhältnis, so wie Objekt und Struktur in der visuellen Wahrnehmung.

Den västerländska matematiken har sitt ursprung i geometrin i det antika Grekland. Ett enastående dokument är Euklides verk ”Elementen”. Där abstraheras och formaliseras rummet så att det kan förstås rent formellt, dvs. med hjälp av språkliga strukturer, utan behov av visualisering. Det är det ”euklidiska rummet”. Detta rum är ett rum betraktat utifrån, vilket är något absurt, för vad ska en ”utsida av rummet” vara? Tricket som gjorde detta rimligt under antiken var att anta gudarnas perspektiv, som befann sig bortom denna värld. Det var först i samband med det moderna perspektivmåleriet som matematiken utvecklade idén om ett rum som bara kan betraktas inifrån, från ett perspektiv, som Möbiusbandet, som bara har en sida, så att det inte går att skilja på insida och utsida. Dessa ”projektiva rum” står i ett komplementärt förhållande till det ”affina”, generaliseringen av det euklidiska rummet, precis som objekt och struktur gör i den visuella perceptionen.

Die 3K-Hintergrundstrahlung zeigt den Horizont des Universums für elektromagnetische Strahlung.
3K-bakgrundsstrålningen visar universums horisont för elektromagnetisk strålning.

Das Individuum („Unteilbare“) kann grundsätzlich nur von innen oder von außen wahrgenommen werden. Beide Perspektiven aufeinander zu beziehen oder gar miteinander zu identifizieren bedarf einer Perspektive von außerhalb der Welt. Eine solche Perspektive vermittelt die Sprache, insbesondere die Schriftsprache, die in der Lage ist, durch Abstraktion der Anschauung eine solche Perspektive formal, als Konzept, zu vermitteln. Das erinnert sehr an die beiden „Selbste“, von denen Temple Grandin schreibt: Das „thinking-self“ als Innen- und das „acting-self“ als Außenperspektive. Die Art und Weise, wie ein Mensch in der Sprache wohnt, entspricht seinen Möglichkeiten, beide „selfs“ aufeinander zu beziehen, oder sie gar als identisch zu erleben. Autistische Menschen erleben hier eher eine mehr oder minder tiefe Kluft zwischen beidem, die nicht selten mit dem Gefühl beschrieben wird, wie unter einer Glasglocke zu leben.

Individen (”odelbar”) kan i princip bara uppfattas inifrån eller utifrån. För att kunna relatera de båda perspektiven till varandra eller ens identifiera dem med varandra krävs ett perspektiv utifrån. Ett sådant perspektiv förmedlas av språket, särskilt skriftspråket, som kan förmedla perspektivet formellt, som ett begrepp, genom att abstrahera synen. Detta påminner mycket om de två ”själv” som Temple Grandin skriver om: Det ”tänkande jaget” som ett inre perspektiv och det ”handlande jaget” som ett yttre perspektiv. Det sätt på vilket en person lever i språket motsvarar förmågan att relatera de båda ”jag” till varandra, eller till och med att uppleva dem som identiska. Autistiska personer tenderar att uppleva en mer eller mindre djup klyfta mellan de två, vilket ofta beskrivs som känslan av att leva under en glasklocka.

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Hören / Hörsel

Die visuelle Wahrnehmungsverarbeitung erscheint in vielerlei Hinsicht wie ein Wunder. Insbesondere die Kunst, flächige, zweidimensionale Eindrücke als einen dreidimensionalen Raum erscheinen zu lassen, verblüfft mich umso mehr, je öfter ich darüber nachdenke. Damit zerfällt das Gesehene, die visuell wahrgenommene Wirklichkeit, in zwei Aspekte, die miteinander nicht vereinbar sind aber dennoch zusammengehören: den eines affinen und den eines projektiven Raumes.

Das Hören ist mit zwei solchen komplementären Paaren verbunden: Ton und Melodie, sowie Rhythmus und Klang. Anders als beim Sehen benötigen alle diese Aspekte Zeit, um sich zu entwickeln: Ein Ton mindestens die seiner Frequenz; er wird umso präziser, je länger er klingt. Ein Klang als ein Zusammenwirken verschiedener Töne benötigt dagegen deutlich mehr Zeit und muss in der Regel ausklingen, bevor er komplett realisiert ist. Der Rhythmus ist die pure Zeit; der ihm zugrunde liegende Klang spielt eine nur hintergründige Rolle. Insbesondere sind auch Klang und Rhythmus eng mit dem Körper verbunden, denn sie werden nicht nur von den Ohren gehört, sondern auch gespürt. Ein eindrückliches Beispiel dafür gibt die gehörlose Perkussionistin Evelyn Glennie.

Feeling Sound with Evelyn Glennie

Eine Melodie aus einzelnen Tönen ist geradezu ein Sinnbild für eine Vorstellung der Zeit als linear, wobei ein einzelner Ton einem „aus der Zeit gefallenen“ Augenblick entspricht. In seiner Dauer ist er potenziell ewig, kann aber nicht beliebig kurz werden. Um seine Frequenz (f) bestimmen und auch hören zu können, muss er mindestens so lange klingen, wie der reziproke Wert der Frequenz (¹/_f). Der Übergang von einem einfachen Ton zu einer Melodie bedeutet dabei einen Eintritt in eine (wenn auch lineare) Zeit der Veränderung oder Entwicklung. Ähnlich verhält es sich mit dem Übergang von einem Klang zu einem Rhythmus. Allerdings kommen hier weitere Aspekte oder Dimensionen zum Tragen, die nicht in einem linearen Zeitmodell zu finden sind. Ein Rhythmus besteht in der Wiederholung, und zwar in einer, die sich deutlich von der Frequenz eines Tones unterscheidet. Ein Klang benötigt zwingend Zeit, um sich zu entwickeln, und auch hier eine Zeit, nicht der linearen Entwicklung einer Melodie entspricht. Anders als Melodien, von denen man beliebige Ausschnitte hören kann, lässt sich ein Klang nicht ausschnittweise hören. Klänge haben in der Regel auch keine erkennbaren Enden, sondern können beliebig lange ausklingen. Damit ergeben sich folgende Relationen:

(Ton -> Melodie ) <-> (Rhythmus <- Klang)

(Wiederholung (Körper): Ton <-> Rhythmus) <-> (Entwicklung (Ohr): Melodie <-> Klang)

Sowohl die visuelle als auch die auditive Wahrnehmung erzeugen kein konsistentes Abbild einer Wirklichkeit. Ihre Wirklichkeit besteht aus komplementären Aspekten, die zu etwas konsistentem zusammengesetzt und interpretiert werden müssen, um zu einer sinnhaften Wirklichkeit werden zu können. Genau hier setzen die verschiedenen Denkstile an, indem sie diese Aspekte auf unterschiedliche Weise auffassen und interpretieren.

Beim Hören geht es um Zeit und in der Physik ist die Zeit als etwas konzipiert, was gleichmäßig und linear verläuft, also die Dimension 1 hat. Auch in der vormodernen Mathematik kommt die Zeit als die schrittweise Transformationen vor, aus denen ein Beweis besteht. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts hat sich die Idee durchgesetzt, dass die Mathematik aus nichts anderem besteht als sukzessiven Transformationen von Zeichenketten. Mit den abstrakten Maschinen, deren Entwicklung mit Alan Turing verbunden ist, entstand dabei die Vision einer Mathematik, die nur von Computern betrieben wird. Allerdings hat bereits in den 1930er Jahren Kurt Gödel bewiesen, dass eine solche Mathematik nicht vollständig ist und ihre Widerspruchsfreiheit nicht beweisen kann.

Alle drei hier genannten Persönlichkeiten, Evelyn Glennie, Alan Turing und Kurt Gödel, können durchaus als neurodivergent gelten; siehe Sprache und Neurodiversität.

Doch mit den Computern tauchte in der Mathematik ein Phänomen auf, das nicht in dieses Konzept der Zeit passt: Fraktale. Sie entstehen durch die Wiederholung von einfachen Rechenoperationen und zeigen eine Komplexität, die nicht mehr geschlossen berechnet werden kann, ohne die wiederholten Rechenschritte einer nach dem anderen durchzuführen. Sie haben keinen Rand und eine nicht-ganzzahlige Dimension. Damit sind sie keine Objekte. Da sie sich in der Zeit entwickeln verbinden sie einen zirkulären Zeitaspekt, die wiederholte Durchführung einer Rechenoperation, mit einem entropischen und damit auch evolutionären, das sie die Zeit benötigen, um sich zu entwickeln.

Die Zeit in der Mathematik zeigt als zwei Paare von einander komplementären Aspekten: die lineare Zeit und der Augenblick, sowie die zyklische und die entropische Zeit.

Raum	affin	von außen betrachtet drei Dimensionen innen und außen getrennt Objekte und Gegenstände
	projektiv	von innen betrachtet flach, zweidimensional innen und außen nicht unterschieden Wirkungen und Strukturen
Zeit	linear	in der Zeit wie eine räumliche Dimension konzipiert gleichmäßige Schwingung
	Augenblick	jenseits der Zeit vielschichtig, beliebig viele Dimensionen Klang
	zyklisch	unveränderlich dimensionslos Wiederholung, Rhythmus
	entropisch	beständige Veränderung nicht-ganzzahlige Dimension Entwicklung, Entropie

På många sätt framstår den visuella perceptionen som ett mirakel. I synnerhet konsten att få platta, tvådimensionella intryck att framstå som ett tredimensionellt rum förvånar mig allt mer ju mer jag tänker på det. På så sätt bryts det vi ser, den visuellt uppfattade verkligheten, ned i två aspekter som är oförenliga med varandra men som ändå hör ihop: den affina och den projektiva rymden.

Hörseln är förknippad med två sådana komplementära par: Ton och melodi samt rytm och ljud. Till skillnad från seendet behöver alla dessa aspekter tid för att utvecklas: En ton är åtminstone lika med sin frekvens; den blir mer exakt ju längre den ljuder. Ett ljud som är en kombination av olika toner kräver däremot betydligt mer tid och måste oftast klinga ut innan det är fullt realiserat. Rytmen är ren tid, ljudet som den bygger på spelar bara en underordnad roll. Framför allt är ljud och rytm också nära kopplade till kroppen, eftersom de inte bara hörs med öronen utan också känns. Den döva slagverkaren Evelyn Glennie är ett imponerande exempel på detta.

Feeling Sound with Evelyn Glennie

En melodi som består av enskilda toner är nästan en symbol för idén om tiden som linjär, där en enda ton motsvarar ett ögonblick som har ”fallit ur tiden”. Dess varaktighet är potentiellt evig, men den kan inte bli godtyckligt kort. För att man ska kunna bestämma och höra dess frekvens (f) måste den låta minst lika länge som frekvensens reciproka värde (1/f). Övergången från en enkel ton till en melodi innebär ett inträde i en (om än linjär) tid av förändring eller utveckling. Övergången från ett ljud till en rytm är likartad. Här kommer dock andra aspekter eller dimensioner in i bilden som inte återfinns i en linjär tidsmodell. En rytm består av upprepning, och den skiljer sig tydligt från ett tons frekvens. Ett ljud behöver nödvändigtvis tid för att utvecklas, och även här en tid som inte motsvarar den linjära utvecklingen av en melodi. Till skillnad från melodier, som man kan höra hur många avsnitt som helst av, kan ett ljud inte höras i avsnitt. Ljud har i regel inte heller något tydligt slut, utan kan klinga ut hur länge som helst. Detta resulterar i följande relationer:

(ton -> melodi ) <-> (rytm <- ljud)

(repetition (kropp): ton <-> rytm) <-> (utveckling (öra): melodi <-> ljud)

Både den visuella och den auditiva perceptionen skapar inte en enhetlig bild av verkligheten. Deras verklighet består av kompletterande aspekter som först måste sättas samman till en konsistent helhet för att bli en meningsfull verklighet. Det är just här som de olika tankestilarna kommer in i bilden, genom att förstå och tolka dessa aspekter på olika sätt.

Hörsel handlar om tid och inom fysiken konceptualiseras tid som något som löper jämnt och linjärt, dvs. har dimensionen 1. I den förmoderna matematiken framträder tiden också som de gradvisa transformationer som ett bevis består av. I början av 1900-talet rådde uppfattningen att matematiken inte består av något annat än successiva omvandlingar av teckensträngar. De abstrakta maskinerna, vars utveckling förknippas med Alan Turing, gav upphov till visionen om en matematik som endast kan hanteras av datorer. Redan på 1930-talet bevisade dock Kurt Gödel att en sådan matematik inte är fullständig och inte kan bevisa sin motsägelsefrihet.

Alla de tre personligheter som nämns här, Evelyn Glennie, Alan Turing och Kurt Gödel, kan säkert betraktas som neurodivergenta, se Språk och neurodiversitet.

Men med datorerna uppstod ett fenomen inom matematiken som inte passar in i detta tidsbegrepp: Fraktaler. De skapas genom upprepning av enkla aritmetiska operationer och uppvisar en komplexitet som inte längre kan beräknas i en sluten slinga utan att de upprepade aritmetiska stegen utförs efter varandra. De har ingen kant och en dimension som inte är heltalig. Därför är de inte objekt. Eftersom de utvecklas i tiden kombinerar de en cirkulär tidsaspekt, det upprepade utförandet av en beräkningsoperation, med en entropisk och därmed också evolutionär aspekt, eftersom de kräver tid för att utvecklas.

I matematiken framträder tiden som två par av kompletterande aspekter: linjär tid och ögonblicket, samt cyklisk och entropisk tid.

Rymd	affin	sett från utsidan tre dimensioner insida och utsida åtskilda objekt och föremål
	projektiv	sett från insidan platt, tvådimensionell ingen skillnad mellan insida och utsida effekter och strukturer
Tid	linjär	inom tid uppfattad som en rumslig dimension enhetlig svängning
	ögonblick	bortom tid flerskiktat, valfritt antal dimensioner ljud
	cyklisk	oföränderlig dimensionslös repetition, rytm
	entropisk	konstant förändring icke heltalig dimension utveckling, entropi

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Sprache / Språk

Sprache kann heute nur noch als Schriftsprache gedacht werden. Sich vorzustellen, wie Menschen in vorschriftlicher Zeit in ihrer Sprache lebten, wird wohl kaum möglich sein. Vor allen Dingen funktionierte sie als Gedächtnis völlig anders. Die Überlieferungen wurden in ständiger Wiederholung weitergegeben und veränderten sich dabei von Generation zu Generation. Sprache war mit dem Hören verbunden, die äußere, begriffliche Welt war unmittelbar mit der flüchtigen inneren Welt der Gefühle verbunden; und mit dem Körper.

Idag kan man bara tänka på språk som ett skriftspråk. Det är knappast möjligt att föreställa sig hur människor levde i sitt språk under den förskrivna tiden. Framför allt fungerade det helt annorlunda som minne. Traditioner fördes vidare i ständig upprepning och förändrades från generation till generation. Språket var kopplat till hörseln, den yttre begreppsvärlden var direkt kopplad till den flyktiga inre känslovärlden och till kroppen.

Hören und Körper im Obertongesang / Hörsel och kropp i övertonssång

Anders als in der vorschriftlichen Zeit, die mit der Komplementarität von zyklisch und entropisch (oder evolutionär) beschrieben werden kann, befindet sich die Sprache in der schriftsprachlichen Zeit in der von einem gleichmäßigen, linearen Zeitfluss und dem Augenblick. Der Augenblick ist dabei etwas jenseits der Zeit, im Grunde eine Art Ewigkeit. Er ist die Zeit der Eingebung, etwa in Hinblick auf ein mathematisches Problem: In ihm transformieren sich die Zeichen, der Darstellung des Problems, in das, was sie repräsentieren und was ohne sie gar nicht existiert. Es gehört zu den Wundern der Schriftsprache, dass sie etwas entstehen lassen kann, was es ohne sie gar nicht gibt. Der Umstand, dass es in allen Kulturen magische Formeln oder magische Zeichen gibt, Formeln und Zeichen also, die auf wundersame, unverstandene Weise etwas bewirken können, zeigt, wie sehr die Menschen von der Macht der Sprache beindruckt waren, in der sie lebten. Eine Macht, die sich dann ganz besonders entfalten kann, wenn dabei Sehen und Hören, geschriebenes und gesprochenes Wort, zusammenkommen und ein Ganzes bilden.

Die Mathematik hat nicht nur eine sprachliche Struktur, sie kann auch Sprachen modellieren. Diese Modelle heißen „formale Sprachen“ und liegen etwa Programmiersprachen zugrunde. Es lässt sich zeigen, dass formale Sprachen, die eine sinnvolle, das heißt, in sich konsistente Struktur haben, sich eineindeutig auf unendliche iterierte Funktionensysteme abbilden lassen. Sie haben eine fraktale Struktur. Insbesondere bedeutet das, dass Sprachen zwar endlich sind, aber gewissermaßen ins Unendliche streben. Sie sind beliebig, also unendlich erweiterbar und haben keinen Rand und damit keine Grenze. Das lässt sich an einem Sierpinski-Dreieck veranschaulichen: Das Objekt verschwindet mit der Zeit in der Struktur.

Till skillnad från den förskrivna tiden, som kan beskrivas med komplementariteten cyklisk och entropisk (eller evolutionär), kännetecknas språket i den skrivna tiden av ett stadigt, linjärt flöde av tid och ögonblick. Ögonblicket är något bortom tiden, i princip ett slags evighet. Det är inspirationens tid, till exempel när det gäller ett matematiskt problem: i den förvandlas tecknen, representationen av problemet, till vad de representerar och vad som inte skulle existera utan dem. Ett av det skrivna språkets mirakel är att det kan skapa något som inte skulle finnas utan det. Det faktum att det i alla kulturer finns magiska formler eller magiska tecken, formler och tecken som kan åstadkomma något på ett mirakulöst och obegripligt sätt, visar hur imponerade människorna var av kraften i det språk de levde i. En kraft som kan utvecklas på ett mycket speciellt sätt när syn och hörsel, det skrivna och det talade ordet, möts och bildar en helhet.

Matematiken har inte bara en språklig struktur, den kan också modellera språk. Dessa modeller kallas ”formella språk” och ligger till grund för exempelvis programmeringsspråk. Det kan visas att formella språk som har en meningsfull, dvs. internt konsistent struktur, unikt kan mappas till oändliga itererade funktionssystem. De har en fraktalstruktur. I synnerhet innebär detta att språk är ändliga, men i viss utsträckning strävar mot oändlighet. De är godtyckliga, d.v.s. oändligt expanderbara, och har ingen gräns och därmed ingen begränsning. Detta kan visualiseras med hjälp av en Sierpinski-triangel: Objektet försvinner in i strukturen över tid.

Mit ihrer fraktalen Struktur befindet sich die Mathematik wie die Sprache in einer Zeit, die durch die Komplementarität von zyklisch und entropisch charakterisiert ist. Wie Sprache modelliert sich die klassische Mathematik gemäß ihres Ursprungs in der Geometrie dagegen in einer linearen Zeit. Eine solche Zeit hat keine Lücken, sie ist ein Kontinuum, wie etwa die reellen Zahlen. Damit ist die Zeit der klassischen Mathematik durch die Komplementarität von Kontinuum und Punkt (oder Augenblick) charakterisiert. Ihre Grundbausteine sind im allgemeinen Fall, wie es die moderne Mathematik darlegt, Mengen, die durch die Elementbeziehung miteinander verknüpft sind. Auf dieser Grundlage lässt sich die gesamte Mathematik darstellen. Es gibt aber eine dazu komplementäre Darstellung, die durch Graphen realisiert wird, die aus durch Adjazenz („Aneinanderhaften“) verknüpften Knoten oder Ecken bestehen.

Med sin fraktala struktur befinner sig matematiken, liksom språket, i en tid som kännetecknas av komplementariteten cyklisk och entropisk. Liksom språket är den klassiska matematiken modellerad i linjär tid i enlighet med sitt ursprung i geometrin. En sådan tid har inga luckor, den är ett kontinuum, som de reella talen. Den klassiska matematikens tid kännetecknas således av komplementariteten mellan kontinuum och punkt (eller ögonblick). I allmänhet är dess grundläggande byggstenar, som den moderna matematiken förklarar, set som är sammanlänkade genom elementrelationen. Hela matematiken kan representeras på denna grund. Det finns dock en kompletterande representation som realiseras av grafer som består av noder eller hörn som är sammanlänkade genom adjacens (”att hålla ihop”).

Die Mengen sind dabei die Abstraktion von Objekten, während die Graphen Strukturen im Allgemeinen darstellen. Damit die Menge eine widerspruchsfreie Grundstruktur in der Mathematik bilden kann, muss sie durch ein Axiomensystem entsprechend definiert werden. In der modernen Mathematik ist es das „Zermelo-Fränkel“-System mit Auswahlaxiom, kurz ZFC (C steht für „Axiom of Choice“). Damit die Elementbeziehung nicht in sich widersprüchlich wird, gibt es das Fundierungsaxiom, das besagt, dass in einer Menge von Mengen keine zirkulären Elementbeziehungen auftreten, insbesondere auch keine Menge sich selbst enthält. Das Auswahlaxiom besagt, dass ungeachtet unendlicher Größen es immer möglich ist, Mengen zu repräsentieren, etwa durch eines ihrer Elemente. Damit ist jedes Kontinuum der Mathematik zugänglich.

Doch auch für Graphen lässt sich ein Axiomensystem formulieren, das analog dem ZFC aufgebaut ist. Die Graphen sind dann ebenfalls als Mengen modelliert, Mengen, die allerdings anders funktionieren. Denn gibt es hier kein Fundierungsaxiom, sondern ein Axiom, das nicht fundierte Strukturen ausdrücklich zulässt, und statt dem Auswahlaxiom eines, das besagt, dass jede Menge aus endlich vielen Elementen besteht, die wiederum aus endlich vielen Elementen bestehen. Das nennt sich „erblich endlich“.

Insgesamt zeigt die Mathematik also folgende Struktur:

(Algorithmus <-> Fraktal) <-> (Punkt <-> Kontinuum)

Dabei befindet sich das Kontinuum in einer Komplementarität von affin (von außen betrachtet) und projektiv (aus einer Perspektive von innen betrachtet):

(Algorithmus <-> Fraktal) <-> (Punkt <-> (affin <-> projektiv))

Das ist auch die grundlegende Struktur von Sprache, bzw. einer sprachlichen Wirklichkeit oder einer Wirklichkeit, die durch ein sprachliches Denken vermittelt wird. Durch das Fundierungsaxiom und das Auswahlaxiom werden grundlegende Eigenschaften dieser einander komplementären Aspekte erkennbar:

Fundierung: innen und außen unterschieden <-> innen und außen identisch

Auswahl: kontinuierlich <-> körnig (fraktal)

Set är abstraktionen av objekt, medan graferna representerar strukturer i allmänhet. För att set ska kunna utgöra en motsägelsefri grundstruktur i matematiken måste den definieras på motsvarande sätt av ett axiomsystem. I modern matematik är detta ”Zermelo-Fränkel”-systemet med Urvalaxiomet, eller kort och gott ZFC (C står för ”Axiom of Choice”). För att säkerställa att elementrelationen inte är självmotsägande finns grundaxiomet, som säger att inga cirkulära elementrelationer förekommer i en set av set, och i synnerhet att ingen set innehåller sig själv. Valaxiomet säger att det, oavsett oändliga storlekar, alltid är möjligt att representera set, till exempel genom ett av deras element. Detta innebär att varje kontinuum är tillgängligt för matematiken.

Men det går också att formulera ett axiomsystem för grafer, vilket är analogt med ZFC. Graferna modelleras då också som set, men set som fungerar på ett annat sätt. Här finns nämligen inget grundaxiom, utan ett axiom som explicit tillåter ogrundade strukturer, och istället för urvalsaxiomet ett axiom som säger att varje set består av ett ändligt antal element, som i sin tur består av ett ändligt antal element. Detta kallas ”hereditärt ändligt”.

Sammantaget har matematiken därför följande struktur:

(algoritm <-> fraktal) <-> (punkt <-> kontinuum)

Kontinuumet är i en komplementaritet av affin (sett från utsidan) och projektiv (sett från insidan):

(algoritm <-> fraktal) <-> (punkt <-> (affin <-> projektiv))

Detta är också språkets grundstruktur, en språklig verklighet eller en verklighet som förmedlas av språkligt tänkande. Grundaxiomet och urvalaxiomet avslöjar de grundläggande egenskaperna hos dessa komplementära aspekter:

Grund:(inuti och utanför distinkt <-> inuti och utanför identisk

Urval: kontinuerlig <-> granulär (fraktal)

Auf diese Weise vermag das sprachliche Denken ein in sich unzusammenhängendes, fraktales Erleben der Wirklichkeit in ein Ganzes zu transformieren, in eine Welt. Sie drängt die Wahrnehmung in dieses Ganze; der Buchstabe oder die Silbe wird dabei zum Prototypen eines Objekts.

På så sätt kan det språkliga tänkandet omvandla en osammanhängande, fraktal upplevelse av verkligheten till en helhet, till en värld. Perceptionen skjuts in i denna helhet; bokstaven eller stavelsen blir prototypen för ett objekt.

Teil 2: Körper, Geist und Welt / Del 2: Kropp, sinne och värld

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